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Algoritmos de escape

La figura 1 es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.

Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación en la fórmula del Mandelbrot.

En este mismo sitio, la sección Mundo Mandelbrot está íntegramente dedicada a este legendario fractal.

Funciones iteradas

El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho (imagen 2) es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.

Lindenmayer y Sierpinski

La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la animación de la figura 3.

El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. En área fractal, el artículo Koch y Sierpinski detalla más aspectos de este tipo de curvas.

Órbitas caóticas

Cuando estudiamos en el colegio el sistema solar nos dijeron que los planetas describían órbitas elípticas. Como en todo, eso es cierto sólo hasta cierto nivel. El atractor de Lorenz se consigue llevando esa incertidumbre hasta el extremo. La imagen 4 es una representación bidimensional y coloreada de esa figura. Básicamente está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción.

Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por E. Lorenz en 1.963.

Aleatorios y celulares

Ciertas categorías de fractal no encajan del todo dentro de las características que hemos descrito en algún otro sitio. Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión (figura 5) dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se demuestra en la imagen 6.