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Entre el segmento (A) de dimensión 1 y el cuadrado (C) de dimensión 2, se encuentra la curva de Koch (B), con dimensión aproximada 1,26.

Fractal es...

La palabra fractal es, fundamentalmente, un adjetivo, una característica que, en mayor o menor medida, tienen todos los elementos que poseen forma. Es un concepto matemático acuñado hace bien poco, durante el siglo XX. La razón por la cual un término matemático como éste, ha traspasado las fronteras de los libros de álgebra o geometría, es claramente visual. Algunos algoritmos matemáticos generan imágenes espectaculares. Estas imágenes se conocen también como fractales. Aquí es donde empieza una pequeña, divertida y, por lo demás, inofensiva confusión, que explicaré más adelante.

Bajo mi punto de vista, fractal es un término relativo, de la misma manera que los son otros adjetivos como grande, redondeado o incluso otros más abstractos. Por ejemplo, podríamos decir que un cuadro de Jackson Pollock es más fractal que uno de Diego Velázquez, pero estaríamos cometiendo dos estupideces: una, tratar de medir el arte, y otra, aplicar conceptos matemáticos de una manera un tanto extravagante.

Dimensión fractal

Según la geometría clásica, los objetos pueden tener una dimensión (líneas), dos (superficies) o tres (cuerpos). A este tipo de medida se le llama dimensión euclídea. Tal y como se trata de explicar en las figuras adjuntas, y con más detenimiento en el artículo dimensiones, la medida de la dimensión de un objeto, utilizando una definición de dimensión más moderna (dimensión Hausdorff-Besicovitch o dimensión fractal), no es necesariamente un número entero.

Benoit Mandelbrot, plantea, en uno de sus numerosos artículos sobre geometría fractal, una aparentemente sencilla pregunta: «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?». Todo depende de aquello que desechamos en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, debemos añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos. Esto nos va a ocurrir en toda medición, y como no tenemos a mano la costa de Gran Bretaña, podríamos experimentar con cualquier cosa. Conforme más rugoso sea el objeto, más rápidamente crece la estimación de su longitud. Las líneas son objetos de dimensión euclídea 1, pero, salvo que sean perfectas, tendrán una dimensión fractal mayor que 1, e incluso algunas pueden llegar a 2. Se ha estimado la dimensión fractal de la costa de Gran Bretaña en 1,2. Es, por tanto, más fractal que una circunferencia, pero menos fractal que otras curvas, como la definida por el propio Benoit Mandelbrot.

¿Para qué sirve todo esto?

Si me formulasen esa pregunta en un mal momento podría responder algo así como «¿y los cuadrados, las hipérbolas o los icosaedros, para qué sirven?» Como no es mi intención ser descortés, pero tampoco aburrir a las ovejas, trataré de dar una aclaratoria, pero breve explicación. Desde tiempos inmemoriales, hemos trabajado con modelos simplificados de la realidad: órbitas elípticas, estamentos sociales, trayectorias parabólicas, tallas de pantalón... Todo lo que no funcionaba utilizando estos mecanismos era el caos. Hoy sabemos que el caos no lo es tanto como parece, y que por supuesto no es aleatorio. Los algoritmos fractales están utilizándose en el estudio de procesos de este tipo: en meteorología, geología, medicina, economía...

Imágenes fractales

A partir de ahora, y dado el carácter fundamentalmente gráfico de este sitio, nos referiremos a las imágenes generadas a partir de fórmulas fractales, para abreviar, simplemente como fractales. Nos encontramos con más propiedades, al margen de la mencionada dimensión fraccionaria, como pueden ser la complejidad constante, la bifurcación infinita o la autosimilitud, características que quedan ilustradas, respectivamente, en las siguientes imágenes.

Los fractales pueden ser espectaculares. Pero aquí llega la confusión a la que antes aludía: no tiene por qué ser así. Además, la utilización del color en los gráficos fractales, que no siempre se realiza con algoritmos afines a la fórmula, "maquilla" su apariencia. No soy en absoluto purista, y esto me parece fabuloso. La aplicación más banal de la matemática fractal es el diseño gráfico. Por razones que desconozco, esta es la faceta más extendida del mundo fractal, y algunos dedicamos gran parte de los recursos de nuestro desquiciado ordenador a realizar monstruosos cálculos que generan inescrutables imágenes. ¿Estamos locos?.

Un poco de historia

Son muchas las personas que han aportado su granito de arena, y muchas (en cierto modo infinitas) las clases de fórmulas. El siguiente cuadro muestra alguno de los "hitos" en la historia de las matemáticas no lineales. Respecto a lo segundo, bien se merece un artículo aparte: tipos de fractales.

¿Cómo se hacen?

Para realizar una imagen fractal, necesitamos, básicamente, tres elementos: un ordenador (con un 386 basta), un software (generalmente gratuito) y una dosis relativa de paciencia. Los conocimientos matemáticos no son estrictamente necesarios. En la sección software, se describen algunos de los programas más utilizados. Otras secciones y artículos, como mutaciones o el curso de Fractint, explican algunas técnicas básicas, y en las galerías hay ejemplos variados. Bon apetit...